学霸就是要肝 第348节

　　今天的团建，也算是没有白搞。

　　其实团建，最开始也是她提议的，当时也是因为见到萧易因为一直没有解决问题而经常微微皱起的眉头，于是就提议抽个时间来放松一下，说不定放松放松就能够有思路了呢？

　　现在，也算是达成所愿了？

　　摩天轮逐渐下落，最顶端的风景消散。

　　洛明雅转过头，看见了钱万里一家人所在的那个舱室。

　　钱万里和妻子坐在一起，钱徽音则是一脸高兴地看著窗外。

　　微风透过窗沿溜进舱内，洛明雅的发丝随之而起。

　　虽然她不追求那种大起大落的浪漫，但是她终究还是追求浪漫的。

　　此时的浪漫，刚刚好。

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　　终于，摩天轮转了一圈，逐渐回到了最底下。

　　而在即将出去的时候，萧易终于停下了手中的笔，然后抬起了头。

　　注意到洛明雅看著自己的目光，他微微一笑。

　　“问题解决了吗？”洛明雅问道。

　　“并没有完全解决。”萧易说道：“不过，现在距离最后的答案，也差不了多少了。”

　　洛明雅眉头一挑：“就是说，黎曼猜想，就要解决了？”

　　“那倒是没有。”萧易笑著摆摆手：“现在解决的，也只是一个阶段性的问题而已，距离真正解决黎曼猜想，还差了一些。”

　　“不过，现在能够做到这一步……”萧易的目光中浮现出了自信，“大概也已经差不多了。”

　　就在这个时候，舱门从外面被打开。

　　工作人员示意他们可以下去了。

　　洛明雅和萧易便先后下去了。

　　萧易这个时候也将纸和笔装回到了口袋里面去，然后笑著对她说道：“好了，走吧，今天接下来的时间我就不继续研究问题了，好好玩一回。”

　　“好。”洛明雅轻笑著点头，随后他们便并肩向著游乐园中的其他地方走去。

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　　一天的时间，有时候让人感觉过去的很快，有的时候也让人感觉过去的很慢。

　　当过去很快的时候，人们会希望它能够过慢一点，但是过去慢的时候，又会希望它能够过快一些。

　　而对于科学岛实验室的众人来说，今天，他们都是前者。

　　不过，时间终究还是不会等人，随著游乐园的闭园，所有游客都离开了之后，这一天也就结束了，所有人也都汇报已经返回了宿舍，或者是家中，报了平安。

　　一夜过去。

　　第二天，太阳照常升起。

　　萧易昨晚也是就睡在自己办公室中的休息室的，所以起来之后，洗漱完成，就能够在办公室开始进行研究。

　　从昨天的衣服口袋里面拿出了记事本，看起了上面留下的笔记，他的嘴角微微一笑。

　　“OK，今天就可以正式开始了！”

　　联系了王豪，让他从食堂给自己带一份早点过来，随后就坐在了办公桌前，拿出了草稿纸和笔，开始了这最关键的推导。

　　广义模曲线，那么首先就得先回顾一下模曲线的定义。

　　【对于一个正整数N，定义模曲线X(N)为复上半平面H的模块空间(moduli space)，模掉由Γ(N)作用产生的等价关系。这里，Γ(N)是模群SL(2，Z)的主同余子群，定义为……】

　　“接下来定义广义模曲线……”

　　【设n是一个正整数，f是一个n维的Siegel模形式，即全纯函数f:H_n→ C，其中H_n是n×n复对称矩阵τ=(τ_ij)的上半空间，其满足:对于所有的γ∈Sp(2n，Z)，有f((Aτ+B)(Cτ+D)^(-1))=det(Cτ+D)^kf(τ)，其中(A B; C D)是Sp(2n，Z)中的元素，k是f的权;在H_n的每个尖点处，f满足一定的增长条件。】

　　“于是，对于这样的f，就可以定义广义模曲线X_f^(n)为Siegel上半空间H_n的模块空间，模掉由Γ^(n)(f)作用产生的等价关系。”

　　【这里，Γ^(n)(f)是Siegel模群Sp(2n，Z)的一个子群，它依赖于f，定义为:Γ^(n)(f)={γ∈Sp(2n，Z)|f(γ(τ))=f(τ)，对于所有τ∈H_n}】

　　“到这里，X_f^(n)就成功参数化了所有带有f所描述的模性质的n维阿贝尔簇。”

　　写到了这里，萧易微微一笑。

　　到这一步，他就算是将最关键的问题解决了。

　　这个得到拓展的新几何概念，虽然被命名为广义模曲线，但是俨然已经成为了一个全新的东西。

　　它更加体现出了现代数学中的一个重要思想，那就是通过引入新的数学结构，从而在更高的层次上理解事物的本质，发现隐藏的联系。

　　“那么，接下来，也该回到扩展L-函数的本身了。”

　　萧易只是简单的一观察，就很容易能够注意到对于每个n维广义模曲线X_f^(n)，都存在一类特殊的n维阿贝尔簇，它们的扩展L-函数与X_f^(n)的Zeta函数有密切的关系。

　　当然，仅仅只是观察到还不够，还需要给出证明。

　　但是既然已经到了这里，那么也就不存在太大的难度了。

　　花费了几张草稿纸，他最终给出了一个全新的定理：设E是一个n维阿贝尔簇，f是一个n维Siegel模形式；如果E的模性质由f描述，那么E的扩展L-函数L(s，E，)等于广义模曲线X_f^(n)的Zeta函数ζ(X_f^(n)，s)。

　　“如此，最麻烦的一步，也就成功完成了。”

　　那么，接下来要做的就是，向著最后的证明前进！

　　阿廷猜想，如今已经拦不住他了。

　　通过将每个扩展L-函数与一个广义模曲线联系起来，他可以使用广义模曲线的几何性质，如维数、Betti数、Hodge结构等，来刻画扩展L-函数的特性。

　　最终，答案也终于放在了他的眼前。

　　半个月后。

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第283章 黎曼定理和萧氏猜想

　　【定理7.3：设f是一个n维Siegel模形式，X_f^(n)是相应的广义模曲线。那么存在一个自然的Galois表示:ρ_f: Gal(Q/Q)→ GL_n(Z_)，使得对于任意素数p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特征多项式等于X_f^(n)在p处的Zeta函数ζ(X_f^(n)，T)……】

　　萧易的办公室中，他正在草稿纸上面写下关于阿廷猜想证明的最后几步。

　　“嗯，这个定理就成功创建了广义模曲线的几何性质与Galois表示的算术性质之间的联系。”

　　“有了这个结果，我总算是可以将阿廷猜想转化为关于Galois表示的一个问题了。”

　　“那么，这个Galois表示下的阿廷猜想就是……”

　　【定理7.4：设E是一个椭圆曲线，L(s，E)是它的Hasse-Weil L-函数。那么以下两个条件等价:(1) L(s，E)是整个复平面上的全纯函数，并满足一个函数方程；(2)存在一个模形式f，使得E的Galois表示ρ_E与ρ_f同构。】

　　萧易的嘴角微微一翘，就仿佛一切尽在他的掌握之中。

　　到了这一步，他就成功地将阿廷猜想转化为了另外一种形式下的问题。

　　绝大多数的猜想证明，也基本上都不外如是。

　　数学家们所需要证明的最终形式，往往都和原来的问题陈述大相迳庭，但是，通过对各种数学关系之间的抽丝剥茧，就能够在这个最终形式和猜想本身的描述之间，划上代表了等价关系的符号。

　　至于问题原来本身的描述，更多也都是为了方便人们的理解。

　　就比如其他的各种问题，像是冰雹猜想这样，它的描述看起来十分的简单，但是最终证明出来的形式，就并不是本身的那样，而是一个相当复杂的式子。

　　包括像是安德鲁·怀尔斯所证明的费马大定理，最终的形式也是截然不同的。

　　因此，随著萧易现在将阿廷猜想进行了转变之后，他只需要证明每个椭圆曲线的Galois表示都来自一个模形式就行了。

　　“那么，定理7.5，对于任意的椭圆曲线E，存在一个广义模曲线X和一个闭嵌入i: E→ X，使得i诱导了Galois表示之间的同构:ρ_Eρ_Xi_*。”

　　这个定理7.5，就是他最后一个需要完成证明的问题了。

　　同样的，在这里也并没有对他造成任何困难，仅仅只是略微思索了一下，然后，他就彻底完成了自己的结果。

　　“那么，由定理7.3，我们知道ρ_X来自一个Siegel模形式f，即ρ_Xρ_f。”

　　“结合这两个结果，我们就有：ρ_Eρ_X i_*ρ_f i_*。”

　　“这表明ρ_E也来自一个模形式，即f的“拉回“。”

　　“由定理7.4，这意味著L(s，E)是整的并满足函数方程。”

　　“综上所述，阿廷猜想是成立的。”

　　【证毕。】

　　在草稿纸上写下了这最后的两个字，萧易也微微一笑。

　　历经了如今之久的时间，终于，这个阿廷猜想被他成功破解了。

　　如此一来，他也算是距离黎曼猜想，真正地又近了一步。

　　不过，在此之前，他还需要根据他现在的结果，导出阿廷猜想的结果中，那个让每个有限维复表示ρ和它们的L-函数相等的自守表示π，到底是什么样子的。

　　只有得到了这个式子，他才能够借此开始尝试证明黎曼猜想。

　　很快，他就成功地将这个全新的自守表示π给推导了出来。

　　“于是，我们就得到了一个函数方程。”

　　【L(ρ_X，s)=ε(ρ_X，s) L(ρ_X^∨，k-s)】