学霸就是要肝 第174节

　　其中的几乎每种方法都远远超出了他们的想像，也远远超过了学术界对这个问题的研究进展。

　　而那些在现场的物理学家们，更是一阵汗流浃背，好家伙，这几种方法中所使用到的数学都几乎超出了他们的想像，饶是如此，竟然也无法解决？

　　众人对于质量间隙问题的难度又有了进一步的认识。

　　那么，萧易到底是如何解决的?

　　“最终我瞄准了拓扑量子场论这一角度。”

　　“杨-米尔斯理论具有丰富的拓扑结构，尝试从TQFT进行突破，是一个很好理解的角度。”

　　“而事实证明，我选择的这个角度也是正确的。”

　　【对于S^4上的杨-米尔斯场A，其曲率形式F满足：F=dA+A∧A.】

　　【陈数c定义为：c=1/(8π^2)∫_S4Tr(F∧F)】

　　萧易转过头，开始在黑板上写了起来，同时说道：“入手之后，我便开始观察杨-米尔斯理论在四维球面上的表现，众所周知，这种四维球面空间在拓扑性质上非常的特殊。”

　　“四维球面S^4是一个紧致的、无边界的四维流形，它具有著简单连通性的拓扑性质，同时还有著高阶同伦群的零化性质，这都让我们的分析能够变得稍微简单一些。”

　　“所以我们将自然而然能够想到利用反自对偶场，以及霍奇对偶算子。”

　　萧易的推导再度开始。

　　而随著他在黑板上构造出了他口中的反自对偶场后，立马让在场的很多物理学者想起了当初萧易推导出来的X场，就是从这个反自对偶场中导出来的！

　　意识到了这一点，他们顿时都是眼前一亮，总算是让他们发现了X场最初的起源，而仔细观察一下萧易给出的这些推导过程，也让他们更为清楚了X场的机制。

　　一时间，他们都越发期待萧易最后的成果，究竟能够为理论物理学的研究提供多少帮助？

　　毕竟这场报告的摘要中，萧易可是明确说明过，会说明结论在物理上的意义。

　　就这样，数学家期待著霍奇-顶点代数解析理论，物理学家们期待著最终结论的物理意义，每个人都有光明的未来……

　　“……最终，我们可以引出一个定理：设G是一个紧的、简单的李群，且A是定义在四维球面S^4上的一个杨-米尔斯场。如果存在一个非零的陈数c，则杨-米尔斯场A的最低能量激发态具有一个严格正的质量间隙。”

　　“显然这个定理是等价于质量间隙问题的，因此，我们只需要证明它，也就证明了质量间隙的存在。”

　　场下的听众们，顿时都屏住了呼吸，仔细观察著萧易给出的这个定理。

　　“原来如此，他竟然将拓扑量子场论推导到了这种地步……”

　　第一排的座位上，身为这场报告会主要听众之一的爱德华·威滕，膝盖上放著草稿纸，而他正在跟著萧易的讲述，在草稿纸上进行著推演。

　　最后，他抬起头，看向萧易的目光中更为震撼。

　　能够导出这个等价的关系，已经是几乎将整个过程中能用到的各种方法，同量子场论结合到了一种新的极致，其中对于技术的考量，远超他的想像。

　　其中包含了他曾经研究出来的Chern-Simons理论，同时还有四维拓扑不变量、纤维丛理论等等一大堆的复杂数学方法。

　　能够将这么多的方法掌握就已然相当难得了，就更不用说还要将它们全部融会贯通，并且用在推导质量间隙这种难度的问题上面了。

　　作为一名顶尖的数学物理大师，威滕这回算是对萧易的数学能力有了更深的认识了。

　　然而，都已经将方法用到此种地步，最终也只能导出这样一个等价的定理吗？

　　接下来又该如何证明？

　　应该就是那个已经传遍了的霍奇-顶点代数解析方法了吧？

　　威滕的心中，也燃起了对这个方法的期待。

　　而此刻，导出了这个定理后，台上的萧易转过头，朝现场的所有观众们微微一笑：“等价的关系已经被我们得出，接下来的问题，我们该如何证明这个定理呢？”

　　随后，PPT也被他翻到了下一页。

　　而这一页上面的内容，正是那个给萧易带来了灵感的霍奇标准猜想。

　　“霍奇标准猜想，属于一系列关于代数簇上代数循环的猜想之一，与霍奇猜想有一定的联系，但相对来说要更加具体和技术性。”

　　“大家现在可以观察一下这个猜想的陈述，思考一下我刚才给出的定理，是否能够找出一些联系？”

　　萧易说到这里，然后就停了下来，从旁边拿起了自己的水杯喝了一口。

　　场下的人，百分之九十以上都是一脸懵。

　　不是吧，你真的让我们观察？

　　是不是有点太看得起我们了，这玩意儿能观察出什么东西来？

　　对于绝大多数的人而言，他们连这个猜想的陈述都看不懂。

　　【对于一个定义在复数域上的非奇异射影代数簇X，考虑X的(p，p)-同调类中的代数循环Z，定义一个由Z诱导的算子L(Z):H^m(X，Q)→H^(m+2p)(X，Q)，其中Hm(X，Q)是X上的第m阶同调群。猜想断言，对于适当的p，这个算子L(Z)是正定的。】

　　“你们看得懂吗？”

　　台下，叶承等人所在的区域，他们看著萧易给出的这个东西，全部都是一脸懵逼。

　　“看得懂个鬼啊？”

　　陈木华深深地打了个哈欠。

　　此时的他们，基本上都处于昏昏欲睡的状态中了。

　　仿佛回到了当年那个高二炎热的下午，听著老师在台上讲著椭圆曲线的题目，而自己却已经是哈欠连连，恨不得直接睡过去。

　　当然，对他们这些数学尖子生来说，当年老师讲的，他们也完全会，但现在面对萧易讲的，他们是真的懂不了一点了。

　　“别想了，人家萧哥就不是让咱们来观察的，是让坐在前面的那些大牛们观察的。”卢平摆摆手，一脸平静的说道。

　　对于他们而言，接受现实是最重要的。

　　然而，话虽如此，其实对于坐在前排的那些大牛们而言，他们左看右看，也完全看不出来个什么啊？

　　还有，萧易现在突然提出这个问题来，是想干嘛？

　　莫非是要证明霍奇标准猜想？

　　开什么玩笑！

　　证明了质量间隙问题还不够，你还想顺便把证明霍奇标准猜想？

　　要知道的是，在数学中还有很多猜想的难度都丝毫不亚于千禧年七大难题，而霍奇标准猜想就是其中之一，千禧年难题最重要的不仅仅是难，还在于它们解决了之后能够给学术界带来的价值。

　　当然，萧易也没有一直等下去，喝了一口水后，他便继续开口道：“观察之后，我们可以很轻易地联系到霍奇理论中的一些工具。”

　　“首先就是，霍奇分解，然后就是，顶点代数。”

　　“霍奇分解是霍奇理论的核心概念之一，它将复代数簇上的德拉姆同调分解为(p，q)-型的部分，另一方面，顶点代数作为量子场论和代数几何的重要工具，可以用来描述共形场论中的代数结构。”

　　“如果两者相结合，能够给我们带来什么呢？”

　　萧易没有直接给出回答，而是开始在黑板上写了起来。

　　“考虑一个复代数簇X，其德拉姆同调群HkdR(X，C)可以通过霍奇分解进行表示。”

　　【HkdR(X，C)=_(p+q=k)H^(p，q)(X)】

　　“顶点代数是一种代数结构，用于描述二维共形场论中的算子代数，设V为一个顶点代数，其包含的算子满足某些交换关系和局部性条件，特别地，顶点代数具有一个态空间V=_(n∈Z)Vn，其中Vn是能级为n的子空间。”

　　“现在我们考虑一个顶点代数V作用在霍奇结构的同调类上，具体来说，设V的算子作用在Hp，q(X)上，定义一个映射。”

　　【φ:VH^(p，q)(X)→H^(p′，q′)(X)】

　　“其中 p′和 q′由顶点代数的算子特性决定。”

　　写到这里，萧易转头微微一笑：“通过这种构造，可以将霍奇结构与顶点代数的框架结合起来，如此，即是霍奇-顶点代数构型。”

　　“但下面又出现了一个问题，我们该如何使用这个构型呢？”

　　“如果无法使用，它即使结合起来，也终究只能像是空中楼阁一样，没有什么实际意义。”

　　“所以，这个时候，我们就要运用模空间，同时还要引入霍奇结构类。”

　　“考虑X的模空间M，其上的点对应于某种几何对象，比如如矢量丛、代数簇等等的等价类，而这时候，我们再使用刚才的霍奇-顶点代数构型，就可以研究模空间上的霍奇结构了！”

　　【H^k_(global)(M，C)=_(p+q=k)H(p，q)_(global)(M).】

　　当萧易写到了这里时，观众席中，已然是一片波澜了。

　　见到萧易给出的这些过程，那些数学家们，心中完全无法平静。

　　这个就是霍奇-顶点代数解析法？

　　如此绝妙的推导，还有这个方法的作用……

　　几乎是将霍奇理论中的数个工具都给完全打通了？

　　还有现在给出的模空间……

　　此刻他们的心中只能意识到，代数几何要变天了。

　　普林斯顿等一众学者们的位置上，德利涅此时整个身子都往前倾斜了不少，仿佛想要将黑板上的推导过程看得更加仔细一些，就差没有直接站起来，走到黑板旁边了。

　　“这个方法……这个方法……如果当年我能够用它来证明韦伊猜想的话……”德利涅说道：“老师他应该就会满意了吧？”

　　“你的意思是说，用这个方法也能够用来证明韦伊猜想？”

　　德利涅的旁边，邦别里顿时吃惊地问道。

　　“那是当然，而且……”德利涅喃喃道：“能够让我摆脱掉其他附加结构，实现对韦伊猜想的纯粹代数几何证明。”

　　邦别里倒是明白德利涅这么说的意思。

　　韦伊猜想作为代数几何中最重要的猜想之一，当年一大堆最顶尖的数学家们都在尝试著解决这个问题。

　　在那人类群星闪耀的时间，安德烈·韦伊、亚历山大·格罗滕迪克、让-皮埃尔·塞尔、麦可·阿蒂亚等等，当然还有他眼前的这位皮埃尔·德利涅，都为韦伊猜想的证明做出过努力。