天才学霸？我只是天生爱学习 第118节

　　这也是在解决存在性问题时的常用方法，染色之后，就能对构成的点线面角等进行数量和性质进行分析，以此来简化问题，让问题变得更直观。

　　对应到这道题，可以在第k次操作中，对第k个核桃进行染色，比如，染成黄色。

　　这样操作之后，所有小于k的核桃都会被染成黄色，而大于k的核桃则都没有被染色，这样就能清晰的区分大于k和小于k的两类核桃。

　　最后的证明也就变成了，证明在这2025次操作中，必然存在某一次操作，交换了两个颜色不同的核桃。

　　再使用反证法，假设每次操作交换的都是同色的核桃。

　　“那么，这样做最后能导出什么样的矛盾呢？”

　　李泽翰皱眉思考起来。

　　最开始所有的核桃都没有被染色，操作完成之后，所有的核桃都被染成了黄色。

　　这中间存在一个状态的转换。

　　如果只是一个个的核桃进行染色，自然是没问题的，但现在是染色，加上交换同色的核桃，这很可能导致状态转换的失败。

　　再加上题目要求证明，那么显然，这个染色加同色交换的操作会导致染色失败。

　　短暂的思考后，李泽翰找到了解题的关键。

　　但还缺了关键一步。

　　怎么证明染色会失败呢？

　　李泽翰冥思苦想。

　　显然，光是染色核桃还不够，这很难证明最终的结论。

　　“我知道了！”

　　在脑海中一阵推导演算之后，李泽翰脑中灵光一闪。

　　光是染色核桃不够，那就再把相邻核桃的连接边也染色，可不就大功告成了吗！

　　如果相邻两个核桃都是黄色的，就把连接两个核桃的边也染成黄色。

　　所以一开始，所有的边都是没有染色的，2025次操作结束后，所有的2025条边都是黄色的。

　　如果每次交换的核桃都是同色的，那么第k个核桃和与他相邻的两条边的颜色并不会发生变动，交换这个操作不会引起任何状态的转移。

　　只有对第k个核桃进行染色，可能导致边颜色的变化，如果相邻两个核桃是未被染色的，那么这次染色操作不会带来边的变化，如果两个核桃都被染色，那么就有多出两条被染色的边。

　　也就是说，每次操作要么增加0条染色的边，要么增加2条染色的边，不可能出现2025条奇数边的情况，与题设矛盾，证明完成！

　　“我真是个天才！”

　　李泽翰心中嘿嘿怪笑，即便他心中也明白，这道题也就初中难度，只要掌握了方法，很轻易就能做出来，但并不妨碍他觉得自己超棒。

　　回头看了眼时间，距离八点才过去二十多分钟。

　　整个题目思路还是很清晰的，他大多数时间都浪费在思考怎么证明最后的矛盾上了，但二十多分钟，这个速度已经极快了。

　　一念及此，他下意识的抬头向陈辉的位置看去。

　　然后，他就听到了哗啦一声翻卷的声音！

　　“？”

　　“老大都开始做第三题了？”

　　“我顶你个肺！”

　　李泽翰已经不知道该怎么形容自己此时的心情。

　　老实说，即便已经认清了自己不可能跟那种怪物比的事实，但当这种残酷的事实发生在眼前时，他还是会感受到打击。

　　但真正的勇士，敢于直面惨淡的人生，敢于正视淋漓的鲜血！

　　“我李泽翰是没那么容易被打倒的！”

　　振奋精神，李泽翰看向第二题。

　　题目很简洁，也很漂亮，要证明的结论含义也很清楚，就是数列两项的差值，要小于n的阶乘分之一，同时n大于等于2。

　　看到不等式，小学生……哦，不，初中生就应该知道，应该使用构造法！

　　构造法主要是通过引入恒等式，对偶式，函数，图形，数列，让题目变得更直观，如果不等式中出现了n这种有规律的项，这个时候就要想到数列了。

　　比如证明数列项之和，这个时候就应该想到构造一个移项相减的新数列，然后去分析新数列的单调性。

　　对应这道题，n次幂的形式，则是可以把不等式两边拆分成n个相同，或者有通式的式子的乘积，再去比较大小。

　　李泽翰思路自然涌现，他这些年专攻中学数竞，这些基础知识无比扎实，几乎看到题目的瞬间，脑海中就已经浮现出了解题思路，只是还需要时间去将这些思路转化成最后的答案而已。

　　根号在不等式中显然是扎眼的，所以可以考虑先处理它，通过观察，能够轻易的发现，对式子左边每一项单独平方、立方……就能去除掉根号。

　　这就很容易能够想到a^(2*3*……*n)-b^(2*3*……*n)这种形式，即可将全部根号去除，并且相减后能消去多余的项，得到(n+1)√(n+1)。

　　那么就需要构造一个新的数列，ai=

　　bi=

　　所以题目要求的不等式就是a2-b2，同时a(i+1)-b(i+1)=(ai)^i -(bi)^i=(ai-bi)(ai^(i-1)+ai^(i-2)bi+……+aibi^(i-2)+bi^(i-1))

　　(ai)^i -(bi)^i的幂次展开是有现成公式的，任何一个高中生都应该记得这个展开，同时因为幂次展开后面的式子是有规律的，所以可以将它记作Cn。

　　所以有，

　　a3-b3=(a2-b2)c2

　　a4-b4=(a3-b3)c3

　　……

　　a(n+1)-b(n+1)=(an-bn)cn

　　将式子两边相乘，约去相同的项，就能得到a(n+1)-b(n+1)=(a2-b2)(c2*c3……cn)，所以(a2-b2)=[a(n+1)-b(n+1)]/(c2·c3……cn)。

　　而a(n+1)-b(n+1)=(an)^n -(bn)^n，所以a(n+1)-b(n+1)=(a2)^(n*n-1……3*2)-(b2)^(n*n-1……3*2)=(n+1)√(n+1)

　　最后再来处理Cn。

　　这种式子，李泽翰根本不用思考就能知道需要用到放缩。

　　因为an>bn≥n√n=n^(1/n)

　　所以an^(n-1)+an^(n-2)bn+……+anbn^(n-2)+bn^(n-1)式子中每一项都大于等于n^((n-1)/n)，而Cn有n项，所以cn≥n*n^((n-1)/n)>n*n^((n-1)/(n+1))。

　　这时再回到刚才的式子，c2*c3……cn=n!*（一坨），当n>2时，n^((n-1)/(n+1))都是大于1的，所以可以只保留第n项，即c2*c3……cn=n!*n^((n-1)/(n+1))。

　　所以，a2-b2<1/n!*[(n+1)√(n+1)]/n^((n-1)/(n+1))。

　　显然，(n+1)√(n+1)]/n^((n-1)/(n+1)=((n+1)/n^(n-1))^(1/(n+1))，当n>2时，前面的式子小于2n/n^2<1，所以a2-b2<1/n!。

　　呼！

　　李泽长长的出了口气，题目虽然是做出来了，但他感觉有些头晕脑胀，这道题哪怕是对他来说都是有些难度的，需要能够构造出独特的数列，还需要掌握幂次展开公式，也需要熟悉乘积相消的模式，更需要掌握放缩。

　　当中任何一环掌握得不够扎实都会卡住，解题就无法继续下去。

　　再次回头看了眼教室后方的钟表，已经是九点半了，也就是说，解答这道题，他用了足足一个小时！

　　再抬头看向陈辉所在的位置，那里已然空空如也。

　　刚才他解题太过投入，根本没有注意到陈辉什么时候已经交卷了。

　　“他到底是怎么做到的？”

　　李泽翰心中哀嚎一声，他可没有忘记自己做完第一题的时候陈辉就已经开始做第三题了。

　　当时他还以为第二题很简单，但现在看来，这道题哪怕是一点都没有卡壳，哪怕是思路顺畅，写完整个过程也至少要半个小时吧？

　　怪物！

　　李泽翰忽然释怀的笑了。

　　心中争强好胜的心思彻底熄灭，那股紧迫感也终于是彻底消失，一切都恢复了平静，他开始看向第三题。

　　……

　　八点四十二，

　　陈辉再次走出考场，今天的题目的确比昨天要难一些，但正如袁老师所说，他现在参加CMO，IMO似乎已经没有什么意义了。

　　当然，只是单纯从做题上来讲，对陈辉来说，还是有意义的，毕竟CMO学校也承诺了五万块奖金。

　　考场外依旧围满了各个省的带队老师们，陈辉也不明白为什么他们都不回去休息，而是选择围在智华楼外硬等，感觉就像是高考时等在考场外的家长一般。

　　这般尊尊爱护之意，还是很让陈辉动容的。

　　他却没有发现，这些老师看向他的眼神就像是看怪物一般，尤其是在他走出考场时，不少老师都拿出手机看了看时间。

　　正常情况下，他们自然是会先找个地方休息，等到考试差不多结束了再过来，甚至很多领队都不会再过来。

　　但昨天发生的事情让他们改变了主意，他们想要看看昨天那个人，今天是不是还能创造奇迹。

　　结果也没让他们失望。

　　四十二分钟！

　　毫无疑问，华夏应该是又要出一个了不得的数学天才了。

　　当然，在华夏历史上，也出过不少这样的数学天才，但最后，似乎也并没有人能够走得更远。

　　就是不知道这个小家伙将来能走到哪一步了。